Question

是否存在实数a，使得f(x)=log以a为底（ax-√x)在[2,4]上是增函数，求a的范围

Answer 1

解：存在。首先函数在区间[2,4]上要有意义，则要满足在该区间上，ax-√x>0恒成立
即a>1/x的算数平方根恒成立 故a>1/2的算数平方根。
令t=x的算数平方根，则2的算数平方根<=t<=2 故函数变为f(t)=loga(at^2-t)
下面进行分类讨论：
当0<a<1时，要符合题意则要满足函数 g(t)=at^2-t 在该区间为减函数
而g(t)的导数等于2at-1 则只需满足2at-1<=0恒成立
即a<=1/2t恒成立 故a<1/4
同理
当a>1 时，要符合题意则要满足函数 g(t)=at^2-t 在该区间为增函数
则 只需满足2at-1>=0恒成立
即a>=1/2t恒成立 故a>=1/(2*2的算数平方根）
综上所述，得a的范围是a>1

Answer 2

是否存在实数a，使得f(x)=log‹a›(ax-√x)在[2,4]上是增函数，求a的范围
解:设y=log‹a›u，u=ax-√x，定义域：x≧0.
要使f(x)=log‹a›(ax-√x)在[2,4]上是增函数，有两种考虑：
①当a>1时，f(x)=log‹a›u是关于u的增函数，故要使f(x)在区间[2，4]上是关于x的增函数，就得使u=ax-√x在[2，4]上也是增函数；为此令u′=a-1/(2√x)=0，得驻点x=1/(4a²)；当x<1/(4a²)时u′<0；当
x>1/(4a²）时u′>0；故x=1/(4a²)是极小点；为了使u=ax-√x在[2，4]上是增函数，就应让这个极小点
在区间[2，4]的左边，即应使1/(4a²)≦2，即a²≧1/8，故得a≦-1/(2√2)或a≧1/(2√2)，结合a>1的前提条件，应取a>1；
②当0<a<1时，f(x)=log‹a›u是关于u的减函数，故要使f(x)在区间[2，4]上是关于x的增函数，就得使
u=ax-√x在[2，4]上也是减函数；为此就应该使极小点x=1/(4a²)在区间[2，4]的右边，即应使
1/(4a²)≧4，即a²≦1/16，故得-1/4≦a≦1/4；结合0<a<1的前提条件，故应取0<a≦1/4；可当a在此
范围内时，u=ax-√x在区间[2，4]内小于0，从而使f(x)=log₂u无定义，故a不能在此区间内。
结论：使得f(x)=log‹a›(ax-√x)在[2,4]上是增函数的a的取值范围为：a>1.

Answer 3

解：由题意实数a＞0且a≠1
设y=ax-√x，x∈[2,4]
设√x=t，则t∈[√2,2]
上式为y=at^2-t,t∈[√2,2]
因为a＞0，函数y=at^2-t在（-∞，1/2a]为减函数
在[1/2a,+∞)为增函数
当0＜a＜1，1/2a＞2时整个函数为增函数，解得：0＜a＜1/4
当a＞1，1/2a＜√2时整个函数也为增函数，解得：a＞1
所以a的范围为{0＜a＜1/4}∪{a＞1}