Question

已知函数f(x)=loga(x-1)/(x+1)（a＞0，a≠1）

令g(x)=1+logax,当x∈[m,n]包含于（1，+无穷）（m＜n）时，f(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],求a的取值范围。 在线等

Answer 1

已知函数f^(-1)(x)=loga(x-1)/(x+1)(a>0,a不等于1),x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）。

（3）令g(x)=1+logaX,当[m,n]真含于(1,+∞），

（m<n）时，
   f^(-1)(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],

求a的取值范围?

 

解：（3）因为m<n，g(n)<g(m),所以g(x)=1+logax在[m,n]上是减函数，

所以0<a<1,所以f^(-1)(x)=loga(x-1)/(x+1)=loga[1-2/(x+1)]在[m,n]上是减函数，

又f^(-1)(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],

所以 f^(-1)(m)=g(m),

所以1-2/(m+1)=am,

 a=(m-1)/[m(m+1)]=(m-1)/[(m-1)^2+3(m-1)+2]=1/[(m-1)+2/(m-1)+3]≤3-2√2,

所以0<a<3-2√2.

Answer 2

由题意，g(n)＝1+loga(n)；g(m)=1+loga(m)；1<m<n<+∝；
f(x)=(loga(x-1))/(x+1)；
可以看出，函数g(x)>1在(1,+∝)上单调递增，所以当m<n时，1<g(m)<g(n)；
函数f(x)如有值域在g(m)和g(n)之间，应写作[g(m),g(n)]，而不是[g(n),g(m)]；

函数f(x)=(loga(x-1))/(x+1)在(1,+∝)区间有极大值（但不会超过1），极值点位置与a有关；
若x>=2，0<=loga(x-1)<(x+1)，f(x)<1<g(x)；不存在符合题意的情况；
若x<2，loga(x-1)<0，f(x)<0<g(x)，更不存在符合题意的情形；

即便存在值域使f(n)=g(n)或g(m)，所得方程对应的a是一个确定值而不是取值范围。
总之，不要在线等了。

Answer 3

f(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],说明f(x)是减函数，所以a在0和1之间

Answer 4

0<a<3-2根号2