Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,若x=2/3时,y=f(x)有极值,

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线1不过第四象限且斜率为3 ,又坐标原点到切线1的距离为根号10/10。 （1）求a、b、c的值 （2）求y=f（x）在【-4，1】上的最大值和最小值

Answer 1

(1)f(x)=x³+ax²+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(2/3)=4/3+4/3a+b=0
k=3+2a+b=3
解得a=2，b=-4
f(1)=1+a+b+c=c-1
y-(c-1)=3(x-1)
3x-y+c-4=0
d=|c-4|/√10=√10/10
解得c=3或c=5
若c=3，y=3x-1(舍)
若c=5，y=3x+1
综上，a=2，b=-4，c=5
(2)f(x)=x³+2x²-4x+5
f'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2)
f'(x)=0，x1=-2，x2=2/3
-4<x<-2，f'(x)>0，f(x)增
x=-2，f'(x)=0，取得极大值
-2<x<2/3，f'(x)<0，f(x)减
x=2/3，f'(x)=0，取得极小值
2/3<x<1，f'(x)>0，f(x)增
f(-2)=13
f(1)=4
f(2/3)=95/27
f(-4)=-11
f(x)max=f(-2)=13
f(x)min=f(-4)=-11

追问

k=3+2a+b=3
是怎么来的

追答

切线斜率k=f'(1)

追问

f(1)=1+a+b+c为什么等于c-1
y-(c-1)=3(x-1)这部又是怎么回事

追答

f(1)=1+a+b+c=1+2-4+c=c-1
求切线公式，切点(a，b)，
y-b=k(x-a)
题中的切点是(1，c-1)
y-(c-1)=3(x-1)