Question

数学题三角恒等变换

已知三角形ABC的三个内角ABC的对边分别是a，b，c，(a+b)/(cosA+cosB)=c/cosC。(1)求证:角A，C，B，成等差数列;(2)若角A是三角形的最大内角,求cos(B+C)+√3sinA的取值范围。
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Answer 1

证明：
（1）由CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
将CosC、 CosB、 CosA代入a+b/cosA+cosB=c/cosC
化简得 c^2=a^2+b^2-ab,
又∵c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
∴2cosC=1,
∵在锐角三角形中，C∈（0，π／2），
∴C=π／3,
∴A+B=π-π/3=2π/3，即A+B=2C,所以角A,B,C成等差数列

（2）cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA，A∈[π／3,π／2)
cos(B+C)+3^1/2sinA=-cosA+3^1/2sinA=2sin(A-π／6)
∵A∈[π／3,π／2)
∴(A-π／6)∈[π／6,π／3)
∴sin(A-π／6)∈[1/2,(3^1/2)/2)
∴2sin(A-π／6)∈[1,3^1/2)
即cos(B+C)+3^1/2sinA的取值范围是[1,3^1/2)