Question

已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形

尽量简单点~

Answer 1

作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，易证△AED≌△BED．
∴AD= AB/2=2AC/2=AC，∠B=∠EAD．
∵∠BAC=2∠B，∠EAD+∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠EAD．
在△AEC和△AED中，AE=AE，∠EAC=∠EAD，AC=AD，
∴△AEC≌△AED．
∴∠C=∠EDA．
∵∠EDA=90°，
∴∠C=90°．
故△ABC是直角三角形．

追问

这种回答貌似有点多，我想要新的做法

Answer 2

过A作∠CAB的角平 分线,交 BC于D,过D作DE⊥AB于E
­∵∠BAC=2∠B∴∠CAD=∠DAB=∠B
在△DAE和△DBE中∠DAE=∠B,∠DEA=∠DEB=90 °,DE=DE∴△DAE≌△DBE(AAS)
∴AE =BE=½AB=AC
在△ACD和△AED中AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD∴△ACD≌△AED(SAS) ­∴∠C=∠DEA=90°∴△ABC为直角三角形

Answer 3

解：∵∠BAC=∠B
设∠B=α，则∠BAC=2α，∠C=180°-3α
∵AB=2AC
∴由正弦定理有：AB/sin（180°-3α0=AC/sinα有：2/sin3α=1/sinα→sin3α=2sinα
而sin3α=3sinα-4（sinα）^3
化简得：sinα（1-2sinα）（1+2sinα）=0
再由sinα＞0得到：sina=1/2
由题意有：α=30°
因此，△ABC的三个内角为：30°、60°、90°
所以△ABC是直角三角形。

追问

我们没学过正弦定理...

Answer 4

证明：以C为圆心AC为半径作圆交AB于D，连接CD
AC=CD，得 ∠BAC=∠ADC
而 ∠ADC=∠B+∠BCD，∠BAC=2∠B
则 ∠BCD=∠B 从而 CD=BD
又 AC=CD AB=2AC=AD+BD
所以，得 AC=CD=AD，△ACD为正三角形
∠BAC=2∠B=60°，∠ACB=180°-60°-30°=90°
命题得证。

追问

这个回答很好~！不过我们现在做辅助线一般不做圆

Answer 5

过点C作CD垂直AB于点D
因为：90度-∠BAC=∠ACD，90度-∠B=∠BCD
，∠BAC=2∠B
所以2∠ACD=∠BCD
所以∠BAC+∠ACD=∠B+∠BCD=90
所以∠BAC+∠B=∠BCD+∠ACD=90
因为∠ACB=∠BCD+∠ACD
所以∠ACB=90度