Question

已知:如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,且E为AD的中点,PB分别与线段CF,AF相交于P，M

（1）.求证：AB=CD
（2）.若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由

Answer 1

(1)∠CAE=∠BAE，∠CEA=∠BEA=90°，公共边AE,所以△ACE与△AEB全等，CE=BE，又因为AE=ED，，∠CEA=∠BEA，所以△DCE与△AEB全等，即AB=CD

Answer 2

（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=1/2∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），
∴AB=CD．

（2）解：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）