Question

设三角形ABC的内角A，B。C的对边长分别为a，b，c，且1/a，1/b，1/c成等差数列则角B是（ ）

A锐角 B直角 C钝角 D以上三种都有可能

Answer 1

作为选择题不用计算的、、、
由题意可知b不是最长的边也不是最短的边、、
由于三角形只可能有一个直角或钝角另两个角都是锐角
根据大边对大角可知，B不是大角只能是锐角。

另外也可以考虑特殊情形。。比如等边三角形的情况
显然各边倒数成等差数列，而B也是锐角。

Answer 2

设公差为d,c<a,则有
1/a=1/b-d
1/c=1/b+d
得
a=b/(1-bk)
c=b/(1+bk)
代入
COSB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
得
COSB=(1+3(b^2)(d^2))/2(1-(b^2)(b^2))
因为a+c>b
所以 b/(1-bk)+b/(1+bk)>b
得1/(1-(b^2)(b^2))>1/2>0
所以(1-(b^2)(b^2))>0
所以 COSB=(1+3(b^2)(d^2))/2(1-(b^2)(b^2))>0
B为锐角，答案为A

Answer 3

B直角