Question

定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数加一个偶函数的形式

Answer 1

证明：
不妨设函数为y=f(x), 定义域关于原点对称
令g(x)=(1/2)*[f(x)+f(-x)]
h(x)=(1/2)*[f(x)-f(-x)]
显然g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x)
g(x)为偶函数，h(x)为奇函数
∴f(x)=g(x)+h(x)
=(1/2)*[f(x)+f(-x)]+(1/2)*[f(x)-f(-x)]
可表示为一个奇函数加一个偶函数的形式

Answer 2

如果f(x)定义域关于原点对称，我们再在这个定义域上定义两个函数：
g(x)=(f(x)+f(-x))/2
h(x)=(f(x)-f(-x))/2
很容易验证g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，而且f(x)=g(x)+h(x)
得证。