Question

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2的单减区间为(1,2),且满足f(0)=1，对任意m(0,2]，

关于x的不等式f(x)<1/2m3-mlnm-mt+3在x>=2上有解，求t的取值范围

Answer 1

解：f'(x)=3ax^2+2bx+c 由题意知f'(1)=0 f'(2)=0 且a>0 又f(0)=1 解得a=1 b=-9/2 c=6
不难知f(x)在x>=2为增函数，则此时f(x)的最小值为f(2)=3
则要使关于x的不等式f(x)<1/2m3-mlnm-mt+3在x>=2上有解
则需满足1/2m3-mlnm-mt+3>3对于任意m(0,2]恒成立
即t<1/2m^2-lnm对于任意m(0,2]恒成立
故只需满足t小于1/2m^2-lnm的最小值即可
设g(m)=1/2m^2-lnm 则g'(x)=m-1/m=(m-1)m
则当m=1时，g'(x)=0
0<m<1，g'(x)<0 减
1<m<=2,g'(x)>0 增
则当m=1时，g(x)取得最小值为g(1)=1/2
故t<1/2