Question

已知三角形ABC与三角形ADE都是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE于点N；（要图解）

（1）若点P在线段AB上运动、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN的数量关系并证明；（2）若点P在线段AD上运动、（不与A、D重合），画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系；（3）总结：若点P在直线AB上运动、（不与A、B、D重合），线段PC、PN的数量关系会保持不变吗？

Answer 1

解答：解：如图，在AC上截取AF=AP
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=AP，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，又∠PAN=∠PFC=120°
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；
（2）
作PM平行于AC交BC于M，△BMP是等边三角形，CM=PA，
∵∠CBP＝60°
∴∠BCP+∠BPC=120°，
∵∠CPN＝60°
∠APN+∠BPC=120°，
∴∠BCP=∠APN。
∠CMP＝120°，∠PAN＝120°，
∴△CMP≌△NPA
∴CP=NP。

（3）线段PC、PN的数量关系保持不变；
无论点P在AB上哪个点，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的数量关系不变．

追问

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