Question

关于定积分的证明题目

证明证明啊

Answer 1

把[0,1]分为n个小区间[0,1/n),[1/n,2/n),...,[(n-1)/n,1)
对每个小区间（(k-1)/n,k/n)，由积分中值定理，存在ξ∈（(k-1)/n,k/n)，使：
∫(k-1)/n,k/n)f(x)dx=f(ξ)/n成立
考虑梯形法近似计算：ΔSk={f[(k-1)/n]+f[(k)/n]}/2/n
产生误差=|∫(k-1)/n,k/n)f(x)dx-{f[(k-1)/n]+f[(k)/n]}/2/n|
=|f(ξ)/n-{f[(k-1)/n]+f[(k)/n]}/2/n|=|{f[(k-1)/n]-f(ξ)+f[(k)/n]-f(ξ)}/2/n|
<=|M[ξ-(k-1)/n]+M[k/n-ξ]|/(2n)<=M/(2n^2)
求和：|∫(0,1)f(x)dx-1/n∑(1,n)f(k/n)|<=M/(2n)

Answer 2

分积分∫(0,1)f(x)dx为n个小区间(0,1/n),(1/n.2/n),.....((n-1)/n,1)的积分
对每个小区间（(k-1)/n,k/n)，由积分中值定理，存在xk属于区间（(k-1)/n,k/n)，使：
∫(k-1)/n,k/n)f(x)dx=f(xk)/n,于是：
∫(0,1)f(x)dx=∑(1,n)f(xk)/n
|∫(0,1)f(x)dx-∑(1,n)f(k/n)/n|
=|∑(1,n)f(xk)/n-∑(1,n)f(k/n)/n|
=∑(1,n)|f(xk)-f(k/n)|/n
《(M/n)∑(1,n)|xk-k/n|《M/n

怎么差1/2?