Question

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2根号3,M,N分别是AB，SB的中点

1.求二面角N-CM-B的大小
2.求点B到平面CMN的距离
求详细过程，不要用向量

Answer 1

（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC∴SD⊥AC，
BD⊥AC，
∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，
∴AC⊥SB．…（4分）
（2）∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面
ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面
ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-
CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，∴NE=(1/2)SD=(1/2)根
号(SA^2-AD^2)=(1/2)跟（12-4）=
根号2
且ED=EB．在正△ABC中，EF=
(1/4)MB=1/2，
在Rt△NEF中，tanNFE=EN/EF=2
根号2
∴二面角N-CM-B的正切值为2根号
2．…（8分）
（3）在Rt△NEF中，NF=根号
(EF^2 EN^2)=3/2，
∴S[][][]CMN=(1/2)CM NF =3根号
3/2
S[][][]CMB=(1/2)BM CM =2根号3
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面
CMB，∴(1/3)S[][][]CMN*h=
(1/3)S[][][]CMN*NE，
∴h=S[][][]CMB * NE / S[][][]CMN
=4根号2/3．
即点B到平面CMN的距离为4根

Answer 2

先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：
A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1， 根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量AC =（-4，0，0），向量SB =（0，2 ，2 ），则 向量AC• 向量SB=（-4，0，0）•（0，2 ，2 ）=0由此命题得证证明：
（1）由上面可知： 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN=（-1，0， 根号2）.
设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有：
向量CM•向量n =3x+根号3 y=0，向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0
取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，
∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，
又 向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量，
∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .
∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(2)由（1）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3

Answer 3

先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：
A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1， 根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量AC =（-4，0，0），向量SB =（0，2 ，2 ），则 向量AC• 向量SB=（-4，0，0）•（0，2 ，2 ）=0由此命题得证证明：
（1）由上面可知： 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN=（-1，0， 根号2）.
设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有：
向量CM•向量n =3x+根号3 y=0，向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0
取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，
∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，
又 向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量，
∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .
∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(2)由（1）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3