Question

有难度的数学几何题（平面直角坐标系），跪求解！再跪！三跪！

题目：已知平面直角坐标系上有四点：A（0,350）、B（500,350）、C（500,0）、D（0,0）。现有一定点O（x,y）在矩形区域：（0<=X<=500）(0<=y<=350)内，设：OA两点距离为L（L值未知），则OB=L+L1，OC=L+L2，OD=L+L3。（L1L2L3可能为负值。）
要求：算法尽量简单，尽可能不用或少用根号和开方，若能少用三角函数就更好了，小弟要把这个算法写成计算机程序，所以不能使用微积分。跪求各位大神了！
提问：
（1）现测得L1，L2，L3准确值，即L1、L2、L3值视为已知常数，L值依然为未知常数，点O为固定点不会移动，求点O坐标？（即求x、y关于L1L2L3的表达式）
（2）若仅测得L1、L2准确值，L3未知，求O点坐标？
（3）求L1、L2、L3之间的关系？即已知L1L2求L3？
（4）经过反复测量发现L1、L2、L3值并不准确，均含有误差，问：如何计算才能尽可能避免误差干扰，最终求得O点坐标？
跪谢各位大神了！能答对问题1者（并满足要求）即给分，能多答者额外加30分，全答者额外加100分

Answer 1

L^2=x^2+(350-y)^2 (AO条件1)
(L+L1)^2 =(x-500)^2+(y-350)^2 (BO条件2)
(L+L2)^2=(x-500)^2+y^2 (CO条件3)
(L+L3)^2=x^2+y^2 (DO条件4)

(2-1)
2LL1+L1^2=500^2-1000X
(4-1)
2LL3+L3^2=700Y-350^2
(3-1)
2LL2+L2^2=500^2-1000X+700Y-350^2=(2-1)+(4-1)=2LL1+L1^2+2LL3+L3^2
=2L(L1+L3)+L1^2+L3^2
SO
2L(L1+L3-L2)+L1^2+L3^2-L2^2=0
L=(L2^2-L3^2-L1^2)/(2L1+2L3-2L2)

(3-1)-(4-1)

2LL2-2LL3+L2^2-L3^2=500^2-1000X
2L(L2-L3)+(L2-L3)(L2+L3)=500^2-1000X
(2L+L2+L3)(L2-L3)-250000=-1000X
X=-1/1000[(L2^2-L3^2-L1^2)/(L1+L3-L2)+L2+L3](L2-L3)+250

(3-1)-(2-1)
2LL2-2LL1+L2^2-L1^2=700Y-350^2
2L(L2-L1)+(L2-L1)(L2+L1)+122500=700Y
Y=1/700[(L2^2-L3^2-L1^2)/(L1+L3-L2)+L2+L1](L2-L1)+175
至于2、3问，我觉得题目有问题的，L未知，但是可以视为定值
如此以L1+L和L2+L分别为半径，围绕B、C点画圆，要么不相交|BC|>|L1+L|+|L2+L|
要么相交后有两个焦点O，|BC|<|L1+L|+|L2+L|
只有很特殊的情况下才能出现|BC|=|L1+L|+|L2+L|,此时才唯一有一个交点O
第4问倒是蛮有讨论的价值：
由于精度问题跟方差有关，而D(L+L1)=D(L1)(一个变量方差在观测方法不变的情况下，是不随
变量与一常量相加而改变的，方差一般只和观测方法，仪器等因素相关)
设
v1+L1+L=Q1+v1
v2+L2+L=Q2+v2
v3L3+L=Q3+v3

(Q1+V1)^2=(x-500)^2+(y-350)^2
(Q2+V2)^2=(x-500)^2+y^2
(Q3+V3)^2=x^2+y^2
求导
2(Q1+V1)=2(X-500)+2(Y-350)
2(Q2+V2)=2(X-500)+2Y
2(Q3+V3)=2X+2Y

V1=X-500+Y-350-Q1
V2=X-500+Y-Q2
V3=X+Y-Q3
min=V1^2+V2^2+V3^2=(L + L1 - X - Y + 850)^2 + (L + L2 - X - Y + 500)^2 + (L + L3 - X - Y)^2
设V=[V1 V2 V3]‘
X=[X Y]’
L=[850+L1 500+L2 L3]‘
则
V=X-L （V是残差，X为未知数，L为常数项）
使V'PV=MIN
接下来自己参考测量学间接平差

追问

神人啊！大哥，如果L3未知，还能求出O点坐标不？
神哥！！小弟跪拜，磕头，磕破皮！
小弟还有最后一事不明，求神哥指点，神哥，小弟以为：把OB、OC视为已知，O点确实存在，则分别以B、C为圆心画圆必然有交点，若有两交点，其两交点必然在线段BC的两侧，又因为题说O点在ABCD组成的矩形范围内（（0<=X<=500）(0<=y<=350)），所以有一个解应该是可以舍掉的，求神哥再指点小弟一二。跪谢！

追答

你的题目没有说L已知啊，那何来OB OC已知？
如果已知，且假如有两个点，万一BC恰恰小于OB+OC时，两圆的两个交点必然离的很近，请问你如何取舍？

Answer 2

|OB| = L1 + |OA| ①式
|OC| = L2 + |OA| ②式
|OD| = L3 + |OA| ③式
设O点坐标为x，y
OA²= (x-350)² + y² = L²
OB²= (x-500)²+(y-350)² = L² - 300x - 700y + 250000 = (L + L1)²
OC²= x² + (y-500)² = L² + 700x -1000y + 127500 = (L + L2)²
OD²= x² + y² = L² + 700x - 122500 = (L + L3)²

第一题，L，x，y为未知数，相当于3元1次方程，3个未知数，可解出x，y值

追问

高手啊！如果L3未知能求出O点坐标不？求高手指点！

Answer 3

牛人果然多