Question

关于数学分析 第一型曲线积分的问题

∫x^(4/3)+y^(4/3)ds ，积分区域：x^(2/3)+y^(2/3)＝a^(2/3)

求高手解答~~~~~~~~~~!

Answer 1

①积分曲线是星形线，星形线的参数方程是x=a(cost)^3，y=a(sint)^3，0≤t≤2п。
②代入化简被积函数：
x^(4/3)+y^(4/3)= a^(4/3)[(cost)^4+(sint)^4]，
利用三角公式(cost)^2=0.5(1+cos2t)^2，(sint)^2=0.5(1-cos2t)^2★降次再降次，
可得被积函数=0.5a^(4/3)*[1+(cos2t)^2]。
③求ds：
同上利用公式★降次化简可得ds=√(x’)^2+(y’)^2dt=1.5 a┃sin2t┃dt。
④计算原式：
∫x^(4/3)+y^(4/3)ds=0.75a^(7/3)∫(0到2п)[1+(cos2t)^2]*┃sin2t┃dt，
考虑到被积函数中的┃sin2t┃在0到2п上的符号问题，在去掉绝对值符号时，
需要把积分区间分成四段：0到п/2，п/2到п；п到3п/2；3п/2到2п，
然后逐一积分可得原式=4a^(7/3)。

Answer 2

换元做

追问

麻烦具体说一下行吗。。？

追答

x=acos^3t,y=asin^3t