Question

a1=1,an+1=(n+1)an\2n,求Sn

Answer 1

a₁=1，a‹n+1›=(n+1)a‹n›/2n，求S‹n›
解：设b‹n›=a‹n+1›/a‹n›=(n+1)/2n
故b₁b₂b₃b₄......b‹n-1›=(a₂/a₁)(a₃/a₂)(a₄/a₃).......(a‹n›/a‹n-1›)=a‹n›/a₁=a‹n›
=(2/2)(3/4)(4/6)(5/8)(6/10).......[n/2(n-1)]=n!/[2^(n-1)](n-1)!=n/2ⁿֿ¹
即原数列的通项公式为a‹n›=n/2ⁿֿ¹
故 S‹n›=1+(2/2)+(3/4)+(4/8)+(5/16)+(6/32)+...............+(n/2ⁿֿ¹)........(1)
(1/2)S‹n›=(1/2)+(2/4)+(3/8)+(4/16)+(5/32)+(6/64)+........+(n/2ⁿ)..........(2)
(1)-(2)(错项相减)得：
(1/2)S‹n›=1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+......+(1/2ⁿֿ¹)-n/2ⁿ
=[1-(1/2)ⁿ]/(1-1/2)-n/2ⁿ=2[1-(1/2ⁿ)]-n/2ⁿ=2-(2/2ⁿ)-n/2ⁿ=2-(n+2)/2ⁿ
故S‹n›=2[2-(n+2)/2ⁿ]=4-(n+2)/2ⁿֿ¹

Answer 2

a(n+1)=sn，把n=1代入得
a2=s1=a1=-2.
又由a(n+1)=sn，得
an=s(n-1)，两式相减，得
a(n+1)-an=an，即a(n+1)=2an.
故an是从第二项a2=-2开始的公比为2的等比数列.，
n≥2时，an=-2^(n-1)，
∴an={-2，
n=1
-2^(n-1)，n≥2.