Question

已知函数x^2+(1+p)x+p/2x+p(p>0)

Answer 1

1、f(x)=1+x^2/(2x+1)
=1+1/(1/x^2+2/x)
=1/[(1/x+1)^2-1]
x∈[2,4],(1/x+1)^2-1＞0
∵1/x在[2,4]上单调递减，∴f(x)在[2,4]上单调递增
∴f(x)min=f(2)=9/5

2、令k=f(x)=[x^2+(p+1)x+p]/(2x+p)
→x^2+(p+1-2k)x+p(1-k)=0
要求f(x)＜2在定义域上有解，
则方程h(x)=x^2+(p+1-2k)x+p(1-k)=0，k＜2时在[2,4]上有解
∵k＜2，p＞0
∴抛物线对称轴x=(2k-p-1)/2＜3/2
方程x^2+(p+1-2k)x+p(1-k)=0，k＜2时在[2,4]上有解
↔{h(2)≤0→p≤(4k-6)/(3-k)=-4+6/(3-k)＜-4+6/(3-2)=2
h(4)≥0→p≥(8k-20)/(5-k)=-8+20/(5-k)＞-8+20/(5-(-∞))=-8
又p＞0，∴0＜p＜2

3、f(2)+g(2)=(3p+6)/(p+4)+(-7/5)=2/5
∴p=1
根据第一问结论：f(x)min=9/5
g(x)=99/5-[(2^x+1)+81/(2^x+1)]
∵(2^x+1)+81/(2^x+1)≥18,均值不等式，当且仅当x=3时取等号
∴g(x)≤99/5-18=9/5
∴f(x)＞g(x) (f(x)取最小值时，g(x)要小于9/5)