Question

求证：A∩(B∪C)=(A∪B)∩(A∪C)

(1)假设x∈A∩(B∪C)，
则x∈A且x∈B∪C，所以x∈B或x∈C，
这样x∈A∩B或x∈A∩C，
所以x∈(A∩B)∪(A∩C)，
所以左边集合属于右边集合。

(2)假设x∈(A∩B)∪(A∩C)，
则x∈A∩B或x∈A∩C，
若x不∈B，则x∈A∩C，进而x∈A∩(B∪C)；若x不∈C，则x∈A∩B，进而x∈A∩(B∪C)。所以x∈A∩(B∪C)。
所以右边集合属于左边集合。

由(1),(2)，有左边属于右边，且右边属于左边，所以左边=右边

我想知道 （2）中为什么若x不∈B，则x∈A∩C，进而x∈A∩(B∪C)？？？这点我没看懂

Answer 1

（2）中为什么若x不∈B，则x∈A∩C，进而x∈A∩(B∪C)？？？
是这样的！
因为若x不∈B，则有x不∈A∩B，
而上面：
则x∈A∩B或x∈A∩C，
排除掉前一种，只能是后一种。
则x∈A∩C 。
而C∈B∪C，
故x∈A∩(B∪C)

追问

那怎么又由x∈A∩C 进而得到x∈A∩(B∪C）

追答

而C∈B∪C，
故x∈A∩(B∪C)

追问

哦 我知道了 那你能不能顺便帮我证明一下A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 谢了啊

追答

而C∈B∪C，而x∈A∩C表明x∈A且x∈C,
综合x∈A，x∈C∈B∪C两点。
故x∈A∩(B∪C)

追问

我是还想问你怎么证明A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 这个我也不会

追答

这样证：
因为x∈A∪B＝{ x∈X | x∈A 或 x∈B },
设x∈(A∪B)∪C，根据上述定义，x∈A∪B或 x∈C. 下面分两种情况讨论：
(1) 若x∈C，则据定义有x∈B∪C，进而x∈A∪(B∪C).
(2) 若x∈A∪B，则x∈A或x∈B. 再分两种情况：
① 若x∈A，显然得x∈A∪(B∪C).
② 若x∈B，则x∈B∪C，进而x∈A∪(B∪C).
综合(1)(2)，总有x∈A∪(B∪C).这就证明了(A∪B)∪C ⊆ A∪(B∪C).
同理可证 A∪(B∪C)⊆(A∪B)∪C，从而两边相等(A∪B)∪C = A∪(B∪C).

Answer 2

(1)假设x∈A∩(B∪C)，
则x∈A且x∈B∪C，所以x∈B或x∈C，
这样x∈A∩B或x∈A∩C，
所以x∈(A∩B)∪(A∩C)，
所以左边集合属于右边集合。
(2)假设x∈(A∩B)∪(A∩C)，
则x∈A∩B或x∈A∩C，
若x不∈B，则x∈A∩C，进而x∈A∩(B∪C)；若x不∈C，则x∈A∩B，进而x∈A∩(B∪C)。所以x∈A∩(B∪C)。
所以右边集合属于左边集合。
由(1),(2)，有左边属于右边，且右边属于左边，所以左边=右边。

Answer 3

(1)假设x∈A∩(B∪C)，
则x∈A且x∈B∪C，所以x∈B或x∈C，
这样x∈A∩B或x∈A∩C，
所以x∈(A∩B)∪(A∩C)，
所以左边集合属于右边集合。
(2)假设x∈(A∩B)∪(A∩C)，
则x∈A∩B或x∈A∩C，
若x不∈B，则x∈A∩C，进而x∈A∩(B∪C)；若x不∈C，则x∈A∩B，进而x∈A∩(B∪C)。所以x∈A∩(B∪C)。
所以右边集合属于左边集合。
由(1),(2)，有左边属于右边，且右边属于左边，所以左边=右边。

Answer 4

韦恩图很简单就能表示
比如说，你画个图。就很快明白了

追问

嗯 我知道了 谢谢

追答

拿给我几分被！