Question

已知函数f(x)=x的三次方减去x的平方加上二分之一x再加四分之一,证明存在a属于0到二分之一，使得f(a)=a

Answer 1

令F(x)=f(x)-x=x^3-x^2+x/2+1/4-x,
则F(0)=1/4, 而F(1/2)=-1/4.
由于F(x)在区间[0,1/2]上连续，所以存在a属于[0,1/2],使得F(a)=0, 即f(a)=a.