Question

已知函数f(x)=loga^(a-a^x)(a>0且a≠1)

(1)求该函数的定义域和值域
(2)判断该函数的单调性(不必证明)

Answer 1

(1)
函数有意义 则需
a-a^x>0 ==>a^x<a
当a>1时，a^x递增 a^x<a==>x<1
∴f(x)定义域为(-∞,1)
∵ 0< a^x<a ∴ t=a-a^x<a
∴y=log(a) (a-a^x)<1
∴f(x)值域为(-∞,1)

当0<a<1时，a^x递减，a^x<a==>x>1
∴f(x)定义域为(1,+∞)
∵ 0< a^x<a ∴ t=a-a^x<a
∴y=log(a) (a-a^x)>1
∴f(x)值域为(1,+∞)

(2)
a>1时，a^x递增， t=a-a^x递减，y=log(a)t递增
∴f(x)为(-∞,1)上的减函数
0<a<1时，a^x递减，t=a-a^x递增，y=log(a)t递增
∴f(x)为(-∞,1)上的增函数