Question

如图,已知在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:CD=AB+BD

Answer 1

• 在CD上截取DE使DE=DB,易证明三角形ABD全等于三角形AED(AD=AD ∠ADB=∠ADE DB=DE)

• 故∠B=∠AED,AB=AE,ED=DB

• 而∠B=2∠C,

• 即∠AED=2∠C

• 又∠AED=∠C+∠AED（三角形的外角等于不相邻的两内角的和）

• 即2∠C=∠C+∠AED,,

• 所以∠C=∠AED

• 所以CE=AE

• 而CD=CE+ED  (CE=AE ,AB=AE即CE=AB) ,ED=DB

• 即CD=AB+BD

• 原式得证

Answer 2

在DC上截取DE=BD
连接AE
∵AD⊥BC
∴∠ADE=∠ADB=90°
AD=AD,DE=BD
∴⊿ADE≌⊿ADB(SAS)
∴AE=AB,∠AED=∠B=2∠C
∵∠AED=∠C+∠CAE
∴∠CAE=∠C
∴AE=CE
∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+BD

Answer 3

证明：延长CB至点E,使BE=AB,连接AE,
∵BE=AB,
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠BAE+∠BEA
∴∠ABC=2∠BEA
而∠ABC=2∠C
∴∠BEA=∠C
△ADC≡ △ADE
∴CD=DE
∴CD=AB+BD