Question

如图,已知P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°,求证:AO+BO=2OC

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Answer 1

作辅助线过P作PQ⊥OB于Q
因为,∠OAP+∠OBP=180°
所以∠OBP+∠A=180°
所以∠PBQ=∠A
又因为∠PQO=∠PCO=90°，∠COP=∠QOP，OP=OP
所以△PCO全等于△PQO
所以QO=CO，PQ=PC
所以△PQB全等于△PCA
所以BQ=AC
所以AO+BO=OC+QC=2OC

Answer 2

图不给你画了。做PQ⊥OB于Q点，
1、∠OAP+∠OBP=180°，那么∠OAP=∠PBQ；
2、P为角平分线上的点，那么OCP和OQP全等，则PC=PQ。
3、 ACP和PBQ均为直角三角形
所以ACP和PBQ全等，得到AC=BQ。
又易知OC=OQ;
AO+BO=OC+AC+OB=OC+OQ=2OC.

Answer 3

作PE垂直OB与E。∠A=∠PBE，PC=PE，还有直角。则三角形PCA与PBE全等。AC=BE，同样也可以证三角形OPC与OPE全等。AO=AC+OC，OC=OE=BO+BE=BO+AC。AO+BO=AC+OC+BO。2OC=OC+BO+AC，因此。。。。

Answer 4

证明：过点P作PD⊥OB交OB的延长线于D
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB
∴PC＝PD，OC＝OD （角平分线性质），∠PCA＝∠PDB＝90
∵∠OAP+∠OBP=180，∠PBD+∠OBP=180
∴∠OAP＝∠PBD
∴△APC≌△BPD （AAS）
∴AC＝BD
∵AO-AC＝OC， BO+BD＝OD
∴AO-AC+BO+BD＝OC+OD
∴AO+BO＝2OC

Answer 5

由P点做OB的垂直线，落点为E

由于OP是角平分线，可以得出PE=PC 而,∠PBE+∠OBP=180
角角边得出三角形PBE全等于PAC 从而得出PB=AP

然后

以A点为起点，以OB为长度，沿着OA画延长线到D点

因为OAD是一条直线，,∠OAP+∠DAP=180，所以,∠DAP=∠OBP

AD=OB
加上PB=AP，边角边，三角形DAP全等于三角形POB

因为∠POB=∠POA
因此∠PDA=∠POA

POD是等腰三角形，PC是中垂线
不想再写了，得证