Question

如图，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。要用过中点所对的边的两端点向中线做垂线

构造全等三角形的方法解决！

Answer 1

 

 

如图，延长AD，使 DE = AD , ∴ AE =AD+ DE = 2AD连接BE ，∵已知AD为△ABC的中线 ∴ BD == DC 

在△ADC 和△BDE中 ，

∵BD == DC  DE = AD   ∠ADC  == ∠ADC（对顶角相等 ）

∴△ADC ≌  △BDE  （  边，角 ，边 ）

∴AC = BE （  全等三角形对应边相等）

在 △ABE  中，根据三角形三边的不等关系可知： 

AB +  BE  >   AE →  AB +  AC  >  2 AD 

Answer 2

证明：延长AD到E使得DE=AD
因为 DE=AD
∠EDC=∠ADB
BD=CD(AD为△ABC的中线)
所以 △ABC全等△ACD
所以 AB=CE
所以AB+AC=AB+CE>AE=(AD+ED)=2AD (三角形两边和大于第三边)

追问

要用过中点所对的边的两端点向中线做垂线构造全等三角形的方法解决！

追答

好吧，那就这样作辅助线吧。
证明：如图延长AD，过B点作AD的垂线垂足为N，过C作AD的垂线垂足为M
因为 在Rt△BND和△CMD中
DE=AD
∠EDC=∠ADB
所以 △BND全等△CMD
所以 MD=ND
在直角三角形 ABN中，AB>AN(斜边大于直角边)
同理有 AC>CM
所以 AB+AC>AN+CM=AD+ND+AD-MD=2AD
得证

追问

E在哪？我没有写E啊

追答

好吧，那就这样作辅助线吧。
证明：如图延长AD，过B点作AD的垂线垂足为N，过C作AD的垂线垂足为M
因为 在Rt△BND和△CMD中
DB=DC
∠EDC=∠ADB
所以 △BND全等△CMD
所以 MD=ND
在直角三角形 ABN中，AB>AN(斜边大于直角边)
同理有 AC>CM
所以 AB+AC>AN+CM=AD+ND+AD-MD=2AD
得证

Answer 3

过D点延长，使得DE=AD，证明三角形ABD与三角形DEC全等，AB=CE，因此在三角形ACE中，AC+CE=AC+AB>AE=2AD