Question

正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)，为什么p>5？

Answer 1

我们首先改一下条件和结论：
a,b,c,d由'>0'改为'≥0'，那么结论应改为P≥5
证明如下：

固定c,d，a+b=1-c-d=x
那么我们看√(3a+1)+√(3b+1)的最小值
平方得到(√(3a+1)+√(3b+1))²=3a+3b+2+2√(9ab+3a+3b+1)=3x+2+2√(9ab+3x+1)
由于固定了c,d也就固定了x，所以当9ab取到最小值时，整个式子最小
那么最小值当然是一个为0，另一个为x的时候

同样，任意固定两个变量，都可以把剩余两个变量一个变为0，一个变为最大而使得整体式子最小
所以P的最小值应为一个变量为1，剩余变量为0的时候取到
不妨设a=1,b=c=d=0
那么此时最小值P=5

所以P≥5

但是由于题设中a,b,c,d>0，所以不等号成立条件无法达到，所以P>5