Question

已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________.

Answer 1

解：设方程的两根分别为x1，x2，则
x1+x2=a
x1•x2=b
∵x1，x2中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x1≤x2，则由上式，得
x1•x2-(x1+x2)=b-a=2005，
∴(x1-1)(x2-1)=2006=2×17×59，
∴x1-1=2、x2-1=17×59；x1-1=2×17、x2-1=59；或x1-1=17，x2-1=2×59，
∴x1+x2的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．

Answer 2

将b=a+2005代入方程，得x²-ax+a+2005=0有正整解，所以△=（-a）²-4（a+2005）≥0
即a²-4a-8020≥0，解得a≤2-2√2006或a≥2+2√2006。因为a为正整数，所以a为大于等于2+2√2006的整数，所以a的最小值为92.

Answer 3

91