Question

空间几何。四棱锥S-ABCD.SD⊥平面ABCD,AB\\DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E属于SB，平面EDC⊥平面SBC

（1）求SC与平面SDB所成角正弦值
（2）求二面角S-BC-D的大小
（3）去二面角C-SB-D的大小

Answer 1

解析：由题意建立以D为原点，以DC方程为X轴，以DA方程为Y轴，以DS方向盘为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz
则点坐标：
D(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)
(1)向量SC=(2,0,-2)==>|向量SC|=2√2
，SD=(0,0,-2)，SB=(1,1,-2)
设向量n为面SDB的一个法向量
向量n=向量SD×向量SB=(2,-2,0) ==>|向量n|=2√2
向量SC·向量n=4
Cos<向量SC,向量n>=向量SC·向量n/|向量SC|·|向量n|
=4/8=1/2
∵<向量SC,向量n>与SC与平面SDB所成角互余
∴SC与平面SDB所成角的正弦值=1/2;
(2) 向量SC=(2,0,-2)，SB=(1,1,-2)，DS=(0,0,2)
设向量m为面SBC的一个法向量，向量DS为面DBC的一个法向量
向量m=向量SC×SB=(2,2,2)==>|向量m|=2√3
向量m·向量DS=4
Cos<向量m,向量DS >=向量m·向量DS/|向量m|·|向量DS|
=4/4√3=√3/3
∴二面角S-BC-D的大小为arccos(√3/3)
(3) 向量n=向量SD×向量SB=(2,-2,0) ==>|向量n|=2√2
向量m=向量SC×SB=(2,2,2)==>|向量m|=2√3
向量m·向量n=0==>向量m⊥向量n
∴二面角C-SB-D的大小为90°

注释：两空间向量的矢积
向量AB＝（x1,y1,z1）, 向量CD＝（x2,y2,z2）
向量AB×向量CD＝（y1z2-z1y2，x2z1-x1z2，x1y2-y1x2）
产生一个新向量，其方向垂直于由向量AB，向量CD确定的平面，其方向由右手定则确定。

Answer 2

45夜5有5①4

Answer 3

是