Question

如果n阶矩阵A中的所有元素都是1，求出A的所有特征值？

Answer 1

n阶矩阵A中的所有元素都是1,则其秩为：r(A)=1

所以，其必有n-1个特征值为0

而根据特征多项式(对于任意的矩阵

f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+.

由此可得：

λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann

考虑A矩阵

a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn

A中的所有元素都是1

a1b1+a2b2+...anbn

而λ1,λ2,...λn-1=0

则可知有λn=n

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

│入E-A│,
作行初等变化，先用第n行分别加到1,2，……，n-1行，
再用1,2，……，n-1列加到第n列
此时行列式变成下三角的，则
│入E-A│=（入-n）入^（n-1）
所以A的特征值为 n（一重），0（n-1重）

Answer 3

n阶矩阵A中的所有元素都是1，则其秩为：r(A)=1
所以，其必有n-1个特征值为0.
而根据特征多项式(对于任意的矩阵）
f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+....
由此可得：
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann
考虑A矩阵
a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn
A中的所有元素都是1
a1b1+a2b2+...anbn
而λ1，λ2，...λn-1=0
则可知有λn=n

Answer 4

特征值是n和0.用降阶法。

Answer 5

lambda[1]=n
lambda[2]=...=lambda[n]=0

A和 diag（n,0,0,...,0）相似