Question

求函数u=根x²+y²+z²在条件（x-y）²-z²=1条件下的极值 要求写出详细步骤

Answer 1

u^2=x²+y²+(x-y)²-1 其中(x-y)²-1=z²>=0 取y=x+1 再令x趋于正无穷可知u无最大值
然后利用不等式求u^2最小值 因为(x²+y²)/2>=-xy
所以u^2=(x²+y²)/2+(x²+y²)/2+(x-y)²-1>=(x²+y²)/2-xy+(x-y)²-1=3/2(x-y)²-1>=3/2-1=1/2
等号当且仅当 x=-y ,(x-y)²=1 时取到 即 x=±1/2 ，y=-x, z=0
时 u最小值为√2/2

Answer 2

用球坐标。设x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ,z=rcosθ (r∈[0,+∞)，φ∈[0, 2π)， θ∈[0, π) )
则（x-y）²-z²-1=(rsinθcosφ-rsinθsinφ)²-r²cos²θ-1=0，由此可得：r²=1/[sin²θ(2-sin2φ)-1],显然:
sin²θ(2-sin2φ)>1,否则r²<0，这不可能。
u=根x²+y²+z²=√r²=r,
r²显然没有极大值，比如θ趋于 π/2且φ趋于π/4时，sin²θ(2-sin2φ)-1趋于0，则r²趋于+∞。
当θ=π/2（或3π/2）且φ=3π/4(或φ=7π/4)时，max sin²θ(2-sin2φ)=1×3=3，所以min r²=1/2,即
min r=√2/2。 这时，x=√2/2*sin(π/2)cos(3π/4)=-1/2,y=√2/2*sin(π/2)sin(3π/4)=1/2,z=√2/2*cos(π/2)=0 或者x=√2/2*sin(3π/2)cos(3π/4)=1/2,y=√2/2*sin(3π/2)sin(3π/4)=-1/2,z=√2/2*cos(π/2)=0.