Question

函数f(x)=x^3+x(x∈R),判断在(-无穷,+无穷)上的单调性，并证明！在线等！！！

Answer 1

• 嗯。你好，看到这题目就知道你是高一的，我也是昂。

• 解答步骤如下：f(x)=x^3+x(x∈R), f（x)=x（x²+1）∵x²+1恒为正，这个不需要解释吧。

• ∴只需对前面的x值进行讨论：当x＜0时，函数单调递增（之所以是单调递增是因为负值越来越小）

•                                                当x＞0时，函数单调递增

• 综上所述：f(x)=x^3+x(x∈R)(-无穷,+无穷)上单调递增

Answer 2

解:任取两个值x1,x2且x1<x2
f(x1)=x1³+x1
f(x2)=x2³+x2
f(x1)-f(x2)=(x1³-x2³)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+1)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+(3x2²)/4+1]<0
∴f(x)=x³+x在(-∞,+∞)单调递增

Answer 3

设x>y则
f(x)=x^3+x(x∈R)
f(y)=y^3+y(y∈R)
f(x)-f(y)=x^3+x-(y^3+y)
=x^3-y^3+x-y
=(x-y)(x^2+y^2+xy)+(x-y)
因为(x-y)^2>=0
所以x^2+y^2>=2xy
所以x^2+y^2+xy>=0
又因为x>y
所以x-y>0，x^2+y^2+xy>0
所以f(x)-f(y)=x^3+x-(y^3+y) =(x-y)(x^2+y^2+xy)+(x-y)>0
即f(x)=x^3+x 当(x∈R)时，为单调函数