Question

已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对x>0时

已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对x>0时，f(x)>0,f(1)=1
求f（x）在[-4,4]上的最大值和最小值

Answer 1

已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0
f(0)=0
令y>0
因为 对x>0时，f(x)>0
所以f(y)>0
则x+y>x
f(x+y)=f(x)+f(y)>f(x)
所以y=f(x)为增函数， 最小值f(-4)，最大值f(4)
f(1)=1
令x=y=1，则f(2)=2
令x=y=2，则f(4)=4 所以最大值=4
令x=4,y=-4
f(0)=f(4)+f(-4) 所以最小值=-4

Answer 2

对任意实数，均匀f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0，则f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) => f(0)=0
令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 => f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
又x>0时，有f(x)>f(0)=0，∴f(x)为单调递增函数
f(x)在[-4,4]上的最大值为f(4)=2f(2)=4f(1)=4
f(x)在[-4,4]上的最小值为f(-4)=-f(4)=-4