Question

求不定积分不定积分∫√(1-x^2) /x dx

Answer 1

∫√(1-x^2) /x dx
=∫x√(1-x^2) /x² dx
=(1/2)∫√(1-x^2) /x² dx²
令√(1-x^2)=u，则1-x²=u²，dx²=-du²=-2udu
=(1/2)∫ -2u²/(1-u²) du
=∫ u²/(u²-1²) du
=∫ (u²-1+1)/(u²-1²) du
=∫ (1+1/(u²-1²)) du
=u + (1/2)ln|(u-1)/(u+1)| + C
=√(1-x²) + (1/2)ln|(√(1-x²)-1)/(√(1-x²)+1)| + C

追问

首先表示感谢，问了你这么多的题目。第一类换元积分法感觉还可以，到了第二类换元积分法就无从下手 ，请指点第二类换元的精髓（常用思路）请详解 ，而且加悬赏。谢谢

追答

其实第二类换元法很多地方是需要通过换元去掉根号的，本题有两种换元法，一种是常规的三角代换，这个书上讲得很细了，我不再多说了。另一种就是我用的方法，当根号下是二次式，同时根号外的x是奇数次方时可以用我这个方法，如果根号外是偶数次方，这个方法就不能用了，只能用三角代换。如：∫ √(1-x²) dx，∫ x²√(1-x²) dx，∫ √(1-x²)/x² dx等。

Answer 2

令x=sint
∫√(1-x^2) /x dx=∫cos^2t/sintdt
=∫(1/sint-sint)dt
=ln|csc t-cot t|+cos t+C
=ln|1/x-√(1-x^2)/x|+√(1-x^2)+C

追问

请问 令x=sint 代人√(1-x^2）等于|cos t| 你怎么去除绝对值号的？ 谢谢

追答

想分区间可以，不分区间也可，没关系

追问

不定积分，被积函数 三角换元的时候，怎么开出来是正的 为什么正负号不用讨论？是不是开出来都是正的？