Question

如图，已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x (k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲

线y= k/x (k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y= k/x （k＞0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

(1) A的纵坐标为y = (1/2)*4 = 2, A(4, 2)
2 = k/4, k = 8
y = 8/x

(2) C的横坐标x = 8/8 = 1, C(8, 1)
OA = √[(4 - 0)² + (2 - 0)²] = 2√5
直线y=x/2, x - 2y = 0
C与直线的距离为h = |8 - 2*1|/√(1² + 2²) = 6/√5
△AOC的面积S = (1/2)*OA*h = (1/2)* 2√5* 6/√5 = 6

(3)由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为平行四边形
设P(p,8/p), p >0
PA = √[(4 - p)² + (8/p -2)²] =(1/p)√[(4 - p)²(p²+4)]
PA的方程: (y - 2)/(8/p -2) = (x - 4)/(p - 4)
p(p-4)x + p(p-4)y - 2p²+ 32 = 0
O与直线PA的距离为h = |-2p²+ 32|/√[4(4- p)² + p²(p²-4)²]
= |-2p²+ 32|/√[(4 - p)²(p²+4)]
S = PA*2h = 4|p² - 16| =24
p² + 6p -16 = 0, (p+8)(p-2) = 0, p = 2 (舍去p =-8 < 0)
或
p² -6p -16 = 0, (p-8)(p+2) = 0, p = 8 (舍去p =-2 < 0)
P(2, 4)
或
P(8, 1)

Answer 2

叽哩呱拉

Answer 3