Question

如图 已知点P为△ABC内一点

如图，点P为△ABC内一点，PG垂直平分BC,交点为G,且∠PBC＝二分之一∠ABP,CP的延长线分别交AC,AB于DE.求证：BE＝CD

Answer 1

证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
∠PFB=∠PMC∠BPF=∠CPMPB=PC∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=0.5∠BPE．
∵∠PBC=0.5∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，
∠BEF=∠CDM∠BFE=∠CMDBF=CM∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．