Question

在各项均为正数的等比数列｛an}中，若a2=2,则a1+2a3的最小值

Answer 1

解析：
由题意不妨设该数列公比为q，且可知q>0
若a2=2，那么：a1=a2/q=2/q，a3=a2*q=2q
所以由均值定理：
a1+2a3=2/q + 4q≥2根号[(2/q)*(4q)]=4根号2 （当且仅当2/q=4q即q=(根号2)/2时取等号 ）
所以当q=(根号2)/2时，a1+2a3有最小值4根号2。

追问

均值定理是什么？

追答

http://baike.baidu.com/view/1053809.htm

追问

我们还没学。。。能不能不用这个定理做？

追答

设a1+2a3=m，其中m>0，
那么有：2/q + 4q=m
上式两边同乘以q可得：2+4q²=mq
即4q²-mq+2=0
上述关于q的一元二次方程必有实数解
所以：Δ=(-m)²-4×4×2≥0
即m²≥32
解得：m≥4根号2或m≤-4根号2
由于m>0，所以：m≥4根号2
易知m有最小值4根号2，即a1+2a3的最小值为4根号2。