Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列bn/1的前n项和
打错了是1/bn

Answer 1

(1)a3^2=9a2a6
(a2p)^2=9a2(a2p^4)
a2^2p^2=9a2^2p^4
∵此数列各项均为正数∴a2^2<>0,p>0
两边同时除以a2^2p^2，得9p^2=1,p=1/3
2a1+3a2=1
2a1+3*[(1/3)*a1]=1
2a1+a1=1
3a1=1
a1=1/3
an=a1p^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=1/3^n
(2)bn=log3a1+log3a2+...+log3an
=log3(a1*a2*...*an)
=log3[(1/3)*(1/3^2)*...*(1/3^n)]
=log3[(1/3)^(1+2+...+n)]
=(1+2+...+n)*log3(1/3)
=-n(n+1)/2
1/bn=-2/n(n+1)
=(-2)*[1/n(n+1)]
=(-2)*[1/n-1/(n+1)]
1/b1+1/b2+...+1/bn
=(-2)*(1-1/2)+(-2)*(1/2-1/3)+...+(-2)*[1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/(n+1)]
=-2n/(n+1)

Answer 2

1、an等比，设公比q
2a1+3a2=1，a3^2=9a2a6
2a1+3qa1=1 (a1*q^2)^2=9(a1q*a1*q^5)
所以q=1/3 a1=1/3 或者q=-1/3 a1=1与an为整数矛盾
所以an=1/3^n

2、log3an=-n
所以bn=-(1+2……+n)=-n(n+1)/2
1/bn=-2/n(n+1)=-2*(1/n-1/n+1)
所以Sn=1/b1……+1/bn=-2*(1-1/2+1/2-1/3……+1/n-1/(n+1))=(-2)*(1-1/(n+1))=-2n/(n+1)

Answer 3

解：（I）设等比数列公比为q，由题意，
解2a1+3a1•q=1(a1•q2)2=9a1•q•a1•q5得a1=13q=13…（4分）
故{an}的通项公式为an=(13)n…（6分）
（II）由（I）得：cn=-log3an=n，
∴{cnan}={n(13)n}…（7分）
Sn=(13)1+2(13)2+3(13)3+…+n(13)n13Sn=(13)2+2(13)3+…+(n-1)(13)n+n(13)n+1
相减得 23Sn=(13)+(13)2+…+(13)n-n(13)n+1…（9分）
=131-(13)n1-13-n(13)n+1=1-(13)n2-n(13)n+1
∴Sn=34[1-(13)n]-3n2(13)n+1=34-3+2n4(13)n…（12分）