Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上的任意一点，（1）试说明AB²-AD²=DB*DC

如图，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上的任意一点，（1）试说明AB²-AD²=DB*DC（2）若点D在底边BC的延长线上，其余条件不变，①中的结论还成立吗？请说明理由。点D在CB的延长线上吗？

Answer 1

1、作△ABC的高AE⊥BC于E
∴AB²-AD²=AE²+BE²-（AE²+ED²）=BE²-ED²（勾股定理）
∵AB=AC
∴BE=EC(三线合一）
∴AB²-AD²
=BE²-ED²
=（BE+ED）×（EC-ED）
=(EC+ED)×(BE-ED)
=DB×DC
2、AD²-AB²=DB×DC
作△ABC的高AE⊥BC于E
∴AB²-AD²=AE²+BE²-（AE²+ED²）=BE²-ED²（勾股定理）
∵AB=AC
∴BE=EC(三线合一）
∴AB²-AD²
=BE²-ED²
=（BE+ED）×（EC-ED）
=(EC+ED)×(BE-ED)
=-DC×DB
∴AD²-AB²=DB×DC