Question

已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE教于点P，作BQ⊥AD，

垂足为Q， 求证BP=2PQ

Answer 1

取BC的中点为M。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC、∠ABD＝∠BCE＝60°、∠BAM＝30°。
∵AM⊥BM、AQ⊥BQ，∴A、B、Q、M共圆，∴∠DAM＝∠DBQ。······①
∵CD＝AE、BC＝AC，∴BC－CD＝AC－AE，∴BD＝CE，又AB＝BC、∠ABD＝∠BCE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠PBD。······②
①＋②，得：∠DAM＋∠BAD＝∠DBQ＋∠PBQ，∴∠BAM＝∠PBQ，而∠BAM＝30°，
∴∠PBQ＝30°，又BQ⊥PQ，∴PB＝2PQ。