Question

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求a=？

（2）在第一问的条件下 求f（x）的单调区间？。。。。。。。要详细过程

Answer 1

解：因为若f(1)＝log4(a＋2＋3)=1
故：a＋2＋3=4
故：a=-1

故：f(x)＝log4(-x²＋2x＋3)
对数函数，真数-x²＋2x＋3＞0，故：-1＜x＜3
对于二次函数t=g(x)= -x²＋2x＋3，顶点坐标（1,4），且x∈（-1，1]，单调递增
此时0＜t＜4;而y=f(t)= log4(t)单调递增。根据复合函数的相关性质，故：x∈（-1，1]时，f(x)＝log4(-x²＋2x＋3) 单调递增，即：递增区间为：（-1，1]

对于二次函数t=g(x)= -x²＋2x＋3，顶点坐标（1,4），且x∈[1.3)，单调递减
此时0＜t＜4;而y=f(t)= log4(t)单调递增。根据复合函数的相关性质，故：x∈[1.3)时，f(x)＝log4(-x²＋2x＋3) 单调递减，即：递减区间为：[1.3)

Answer 2

1、f(1)=log(4)[a＋2＋3]=1，即：log(4)[a＋5]=1，得：a=－1
2、此时，f(x)=log(4)[－x²＋2x＋3]
这个函数的定义域是：－x²＋2x＋3>0，得：x²－2x－3<0，即：－1<x<3
考虑到y=－x²＋2x＋3=－(x－1)²＋4，则函数f(x)的增区间是：
(－1，1]，减区间是：[1，3)