Question

关于函数保号性证明的问题。

为什么书上给的定义证明时，E=a/2？这是怎么取得的值？还是任意给定的值？

Answer 1

函数保号性的证明
lim(x->a)f(x)=A
设A>0 ，取ε=A/2
因为 lim(x->a)f(x)=A
所以 存在δ>0
当 0<|x-a|<δ 时 ，有 |f(x)-A|<ε=A/2
可以推出：f(x)>A/2=ε (ε>0)
所以 当 0<|x-a|<δ 时 f(x)>0
你可以这样想：当 0<|x-a|<δ 时，有 |f(x)-A|<ε
A-ε<f(x)<A+ε (ε>0)
为了证明函数的保号性，比如当A>0时
最后要证 f(x)>A-ε>0，( 可以看出只要0<ε<A 就可以保证f(x)>0了) 从这里可以看出：令 A-ε=ε 即 ε=A/2
就有f(x)>ε>0了！

追问

懂了，是不是只有E取任何小于A的正数都可以？我就是好郁闷，为什么E的取值一开始会直接赋值。我感觉E应该算到 A-ε0)这一步时，才赋值才对。不然就感觉E早就算出来样的。以后我做证明题，都要先给出E的取值吗？

追答

嗯，是的。在这里取ε=A/100都可以啊！只要你乐意。

追问

能给我解释下这个吗？为什么E的取值一开始会直接赋值。我感觉E应该算到 A-ε0)这一步时，才赋值才对。不然就感觉E早就算出来样的。以后我做证明题，都要先给出E的取值吗？

追答

什么时候赋值无所谓的！

追问

谢谢你，看你数学很厉害哦，我现在大三，准备考研，数学基础不是很好，能跟我说说学习数学的方法吗？怎样复习高数比较有效率。

追答

呵呵！我也是考研的。大四了，希望能交流！QQ：1356645131

Answer 2

小于a的正数都可以的。