Question

在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠SCB=90°,AC=2，BC=根号3，SB=根号29，求异面直线SC与AB所成角

Answer 1

以AS、AB为邻边作平行四边形SABD。
∵SA⊥AB、SA⊥AC、AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴BC⊥SA，又BC⊥SC，SA∩SC＝S，
∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AC，∴AB＝√（AC^2＋BC^2）＝√（4＋3）＝√7。

∵BC⊥SC，∴SC＝√（SB^2－BC^2）＝√（29－3）＝√26。
∵SA⊥AC，∴SA＝√（SC^2－AC^2）＝√（26－4）＝√22。

∵SABD是平行四边形，∴SA∥DB、SA＝DB＝√22、SB∥AB、SB＝AB＝√7。
∵BC⊥SA、SA∥DB，∴BC⊥DB，∴CD＝√（BC^2＋DB^2）＝√（3＋22）＝√25。

由余弦定理，有：
cos∠DSC＝（SD^2＋SC^2－CD^2）/（2SD×SC）＝（7＋26－25）/（2√7×√26）＝2√182/91。
∴∠DSC＝arccos（2√182/91）。

∵SB∥AB，∴∠DSC＝SC与AB所成的角。∴SC与AB所成的角为arccos（2√182/91）。