Question

设函数f(x)=x^2-loga^x(a>0,a≠1） (1)当a>1时，方程f(x)=0是否有实数根？

(2)若不等式f(x)<0在（0,1/2）上恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

我来给你做（2）本题的关键词是
“同一水平线上比较”
当a>1是在（0，1/2)上
x^2>0
loga(x)<0
-loga(x)>0
==>x^2-loga(x)>0结论不成立
当a<1时，画一条直线x=1/2与抛物线交于A(1/2,1/4)
与对数函数交于B(1/2,loga(1/2))
x=1/2的直线画在交点左侧你就看明白了;
根据题意；
B点应在A点上方，
loga(1/2)≥1/4=loga(a^(1/4))]
1/2≤a^(1/4)==>a≥1/16
所以1/16≤<a<1

Answer 2

解
（1）x^2-loga x=0即x^2=loga x
当a>1时，令h(x)=x^2，g(x)=loga x。
则原方程有解即函数h(x)与g(x)图像有交点。
由二者函数图像知，g(x)图像始终位于h(x)下方，h(x)与g(x)无交点，
所以 方程x^2-loga x=0无实根。

（2）不等式f(x)<0即
x^2<loga x
由（1）知，当a>1时，g(x)=loga x图像始终位于h(x)=x^2图像下方，
也就是说，x^2>loga x恒成立
所以 a>1时，原不等式无解。
当0<a<1时，函数h(x)与g(x)在第一象限有一个交点。设此交点横坐标为x0,
则 当0<x<x0时，loga x图像在x^2图像上方，有x^2<loga x；
又因为 0<x<1/2时，x^2<loga x恒成立，
所以 x0=1/2
所以 实数a的取值范围是（0，1/2）。