Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4/3x+8的图像与x轴，y轴交与A、B两点

OD=1/4OB,AC=1/4AB,过点C作CE⊥OA于点E,点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N,过点N作NP//AB,交OC于点P.当点N与点O重合时点M停止运动，设AN=a。
（1）求点C的坐标
（2）用含a的代数式表示NP
（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)一次函数y=(-4/3)x+8与X轴交于点A(6,0),与Y轴交于(0,8),即:OA=6,OB=8.
故:OD=(1/4)OB=2,即C点纵坐标为2.
把y=2代入y=(-4/3)x+8,得:x=9/2.
所以,点C为(9/2,2);
(2)AB=√(OA²+OB²)=10;
NA=a,则:ON=OA-NA=6-a.
∵NP∥AB.
∴⊿ONP∽⊿OAB,NP/AB=ON/OA,NP/10=(6-a)/6, NP=(30-5a)/3.
(3)①当MP=MN=2时,如原图:
OP/ON=OB/OA,OP/(6-a)=8/6,OP=(24-4a)/3,PD=OP-OD=(18-4a)/3.
∵PD²+DM²=MP²,即[(18-4a)/3]²+(6-a)²=2²,解得:a=6或102/25.(a=6不合题意,舍去)
∴a=102/25;
②当PN=MN=2时,PN/AB=ON/OA,2/10=(6-a)/6, a=24/5;
③当PN=PM时,OP=MN/2=1,OP/ON=OB/OA,1/(6-a)=8/6,a=21/4.