Question

如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线

垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）（1）当x=5 /2时，求pa，pb长度 （2）当x为何值时pd乘以cd值最大？最大值为多少
直径画偏了

Answer 1

解：
（1）易知：Rt△PAC∽Rt△ABP，PA/PC=AB/AP，PA² =PC*AB=5/2*4=10，∴PA=√10，由勾股定理得：PB=√6，

（2）由Rt△PAC∽Rt△ABP，PA/PC=AB/AP，PA² =PC*AB=4X，当PC=X时，PA=2√X，由勾股定理得：AC= √ （4X-X²），PB=2√ （4-X），又CP//AB，所以：AD=PB=2√ （4-X），易知：CD=4-X，PD=PC-CD=X-（4-X）=2X-4，PD*CD=（2X-4）（4-X）=-2X² +12X-16，这是一个二次函数的表达式，且二次项系数为负数，故有最大值，当X= -b/2a=3,Y最大=(4ac-b²)/4a=2

Answer 2

连结BC、AC，易证三角形CAD与三角形DBA，可得AD/AB=CD/AD，所以AD2=4CD、易证三角形CDA与三角形CAP相似，可得CD/AC=AC/PC，所以AC2=CD*PC，又CD2=AD2-AC2，即CD2=4CD-CD*PC，可得CD=4-PC=4-x，所以PD=x-(4-x)=2x-4,所以PD*CD=（2x-4）（4-x）根据二次函数性质就可求出最大值