Question

过圆x^2+y^2=1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A,B两点，则|AB|的最小值为

Answer 1

已知切线与x、y轴的正半轴相交，那么切点P位于第一象限
设P(cosθ,sinθ)（θ∈(0,π/2)）
那么，OP的斜率为k=tanθ
所以，切线的斜率为k'=-cotθ
则切线的方程为：y-sinθ=-cotθ*(x-cosθ)
所以：
当x=0时，y=cscθ。则B(0，cscθ)
当y=0时，x=secθ。则A(seccθ,0)
所以，|AB|=√(sec^2 θ+csc^2 θ)=√[(1+tan^2 θ)+(1+cot^2 θ)]
=√[2+(tan^2 θ+cot^2 θ)]
≥√(2+2tanθ*cotθ)
=√(2+2)
=2
当且仅当tanθ=cotθ，即θ=π/4时取等号。