Question

高等数学: 证明方程a1/(x-λ1)+a2/(x-λ2)+a3/(x-λ3)=0在区间(λ1,λ2), (λ2,λ3) 内内各有唯一的根

证明方程a1/(x-λ1)+a2/(x-λ2)+a3/(x-λ3)=0在(λ1,λ2), (λ2,λ3) 内各有唯一的根, 其中a1,a2,a3均为正常数, 且λ1<λ2<λ3

Answer 1

方程两边同乘以(x-λ1)(x-λ2)(x-λ2)，得a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2)=0，
令f(x)=a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2)，因为a1,a2,a3均为正常数，所以函数图象是一个开口向上抛物线，显然f(x)连续。
并且f(λ1)>0, f(λ3)>0, f(λ2)<0, 所以，方程在(λ1,λ2), (λ2,λ3) 内分别有根，
又因为f(x)是二次方程，所以至多有两根，所以方程在(λ1,λ2), (λ2,λ3) 内都只有1个根。
综上所述，方程a1/(x-λ1)+a2/(x-λ2)+a3/(x-λ3)=0在(λ1,λ2), (λ2,λ3) 内各有唯一的根