Question

已知点P为抛物线y=-1/4x^2上一个动点，

A（3，-5），求PA的最小值.要求详细解答

Answer 1

P(p, -p²/4)
y = -x²/4
y' = -x/2
在P处的切线斜率为k = -p/2
PA最小时, PA与上述切线相互垂直, PA斜率 = -1/k = 2/p = (p - 3)/( -p²/4 + 5)
p³ -12p - 24 = 0
(-24)²/4 + (-12)³/27 = 80 >0
p³ -12p - 24 = 0 只有一个实根
p = ³√[-(-24)/2 + √80] + ³√[-(-24)/2 - √80]
= ³√(12 + 4√5) + ³√(12 - 4√5)
≈ 4.2
P(4.2076, -4.4260)

追问

1."(-24)²/4 + (-12)³/27 = 80 >0
p³ -12p - 24 = 0 只有一个实根"是什么原理？
2.PA的最小值没求出!
3.不要近似值!

追答

PA = √[(p- 3)² + (-p²/4 + 5)²]
将p带入也化简不了(可以自己试试; )
(-24)²/4 + (-12)³/27是一元三次方程p³ -12p - 24 = 0的判别式, 判别式大于0时，p³ -12p - 24 = 0有一个实根和两个复数根。

真想做出PA也行，很复杂，也没有多大意思

Answer 2

【俊狼猎英】团队为您解答

PA的最小值在PA平行x轴时，此时点P纵坐标与点A的纵坐标相等，
将y=-5代入，
-1/4 x^2=-5 ,解得x=±2√5
所以离A点最近的P为（2√5，-5）
所以PA=2√5 -3

追问

为什么说：PA的最小值在PA平行x轴时取呢？

Answer 3

以A为圆心，以r为半径的圆和抛物线相切时的r值就是PA的最小值，(x-3)^2+(y+5)^2=r^2,与y=-1/4x^2联立方程组消去y得到关于x^2的一元二次方程，判别式=0，解出r就是最小值

追问

能解出r当然好，可r怎么解，结果是什么，请给出解答

追答

我看错了，这么做你看行不行，，(x-3)^2+(y+5)^2=r^2,与y=-1/4x^2联立方程组消去y得到
r^2=(1/16)(x^4)-(3/2)x^2-6x+34,现在要求r^2的最小值，通过作图法可以看到取最小值时，x是大于零的。用导数的方法，设f(x)=(1/16)(x^4)-(3/2)x^2-6x+34,（x>0）;f′(x)=(1/4)x^3-3x-6=0,还得用三次方程求根公式，求出他的大于零的根,假设X0，则f(x0)就是r^2,很难求。太难解了。
我怀疑你的问题的真实性，这样的题都是这样问：已知点P为抛物线y=-1/4x^2上一个动点，F是它的焦点，A(3，-5)，求PA+PF的最小值.这样的题使用定义的。