Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向

直线y＝5 /4 作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点F(1，3 /4 )，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由

Answer 1

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线，垂足为M.(1)求a,b,c的值。(2)对抛物线上任意一点P,是否存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立？
(1)解析：∵抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O
∴a<0,c=0
∴a+b=1，-b/(2a)=1==>b=-2a==>a=-1,b=2
∴抛物线y=-x^2+2x
(2)解析：∵抛物线y=-x^2+2x==>(x-1)^2=-y+1
∴该抛物线的顶点坐标为(1,1),焦点坐标为(1,1-p/2)
P=1/2==>p/2=1/4==>F(1,3/4)
根据抛物线e=1，即抛物线 上的点到其准线的距离与到焦点之距相等
∴所求点为抛物线的焦点
∴t=3/4