Question

用数学归纳法解决一道高中数列不等式题

这题用别的方法可以证出来，但用数学归纳法没法做。请问能不能用数学归纳法证明出左边，如果不能请说明下原因谢谢。
An=2^n-1 求证n/2-1/3<A1/A2+A2/A3…An/An+1

Answer 1

直接用数学归纳法是不行的

要加强结论,你证一下这个

A1/A2+A2/A3+......+An/An+1>=n/2-(1-2^(-n))/3

右边是大于n/2-1/3

具体方法的话就是只需要证明An/An+1>=1/2-2^(-n)/3就可以了

这个应该是比较简单的

追问

符合打反了，改过来了，麻烦再看看

追答

我把原来的回答改了,麻烦看一下,没搞懂继续追问

数学归纳法通常是作为万能方法的,就是什么题目你都可以套上边,

但其本质却未必是这样的

像这个题,说到底还是分式的变形

追问

请问下n/2-(1-2^(-n))/3是怎么得到的

追答

放缩法,
你这样想,右边是每次多了一个项,左边每次是多1/2

这样的话你把多出来的项和1/2比较一下发现有这样一个式子

An/An+1=1/2-1/2(2^(n+1)-1)

这样的话,当n=1 的时候多出来1/6

通常能求和比较方便的而且是分式形式的只有等比数列了,

正好最后要求1/3

公比是1/2就可以了,放缩一下正好

事实上,归纳法可以不用,这题主要还是考你对于分式变形的技巧.

先前有事,没看电脑. 回得比较晚, 抱歉啊

Answer 2

给题目来看看

追问

图没发上，直接写了

Answer 3

题目在哪？看不到题目

追问

图没发上，直接写了