Question

函数f(x)=根号[(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6]

函数f(x)=根号[(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6]

(1)若f(x)的定义域为R。求实数a的取值范围.
（2）若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.过程细

Answer 1

(1)
如定义域为R, 则(1-a²)x²+3(1-a)x+6 ≥ 0在R范围内恒成立
首先a = 1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6, 满足要求
a = -1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6x + 6, 不满足要求

a ≠ 1时: (1-a²)x²+3(1-a)x+6必须为开口向上而且与x轴无交点的抛物线，即:
1-a² > 0且∆ = 9(1-a)² - 4*6(1-a²) = 3(11a² - 6a - 5) = 3(11a+5)(a-1) < 0
由1-a² > 0得到 -1 < a < 1
由∆ = 3(11a+5)(a-1) < 0得到 -5/11 < a < 1
结合起来: -5/11 < a < 1
再考虑到a = 1, 实数a的取值范围是 -5/11 < a ≤ 1

(2)
若f(x)的定义域为[-2,1], 则抛物线g(x) = (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = c(x+2)(x-1) = cx²+cx-2c
比较系数c = -3 (常数项)
1-a² = -3, a = ±2 (二次项)
3(1-a) = -3, a = 2 (一次项)
结合起来: a = 2

Answer 2

(1)(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6≥0在R恒成立
当1-a^2=0时，a=1,符合
当1-a^2≠0时，1-a^2＞0且Δ≤0，得-5/11<a<1
所以-5/11<a≤1
（2）因为f(x)的定义域为[-2,1],所以(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6=0的两个根为-2，1，
-2+1=3（1-a)/(a^2-1),-2x1=6/(1-a^2),解得a=2