Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= . （Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）设PM="t" MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，试确定t的值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题． （Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD． 法二：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD． （Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3． 解：（I）方法一∵AD // BC，BC= AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．     ∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又 ∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，  ∴BQ⊥平面PAD．∵BQ 平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  ……………………6分 方法二：AD // BC，BC= AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD 平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分 （II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为 ； ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ∵ ， ∴ ，   ∴   ………………9分 在平面MBQ中， ， ， ∴ 平面MBQ法向量为 ．        ∵二面角M-BQ-C为30°， ， ∴ ．      …………………………12分