如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BC、BB1的中点，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；
如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BC、BB1的中点，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；（Ⅲ）求AB1与...
如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BC、BB1的中点，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；（Ⅲ）求AB1与平面AC1D所成角的正弦值．
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（I）连结A1C交AC1于点O，连结OD
∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴O为A1C的中点，
∵D为BC的中点，∴OD是△A1BC的中位线，可得A1B∥OD，
∵OD?平面AC1D，A1B?平面AC1D，
∴A1B∥平面AC1D；
（II）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
AD?平面ABC，
∴BB1⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴AD⊥平面BB1C1C，
∵CE?平面BB1C1C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB1C1C中，D、E分别为BC、BB1的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C1CD，∠CC1D=∠BCE，可得∠BCE+∠C1DC=90°，得C1D⊥CE，
∵AD、C1D是平面AC1D内的相交直线，∴CE⊥平面AC1D；
（III）取C1C的中点N，连结B1N交C1D于点M，
∵CN
B1E，∴四边形CNB1E为平行四边形，可得CE∥B1N，
∵CE⊥平面AC1D，∴B1N⊥平面AC1D，
连结AM，可得AM是AB1在平面AC1D内的射影，
∴∠B1AM就是直线AB1与平面AC1D所成的角．
设CE∩C1D=F，在Rt△C1CD中，CC1?DC=C1D?CF，可得CF=
．
又∵MN
CF，∴MN=
，可得B1M=
，
∵Rt△B1AM中，B1A=2
，∴sin∠B1AM=
=
∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴O为A1C的中点，
∵D为BC的中点，∴OD是△A1BC的中位线，可得A1B∥OD，
∵OD?平面AC1D，A1B?平面AC1D，
∴A1B∥平面AC1D；
（II）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
AD?平面ABC，
∴BB1⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴AD⊥平面BB1C1C，
∵CE?平面BB1C1C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB1C1C中，D、E分别为BC、BB1的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C1CD，∠CC1D=∠BCE，可得∠BCE+∠C1DC=90°，得C1D⊥CE，
∵AD、C1D是平面AC1D内的相交直线，∴CE⊥平面AC1D；
（III）取C1C的中点N，连结B1N交C1D于点M，
∵CN
| ∥ |
. |
∵CE⊥平面AC1D，∴B1N⊥平面AC1D，
连结AM，可得AM是AB1在平面AC1D内的射影，
∴∠B1AM就是直线AB1与平面AC1D所成的角．
设CE∩C1D=F，在Rt△C1CD中，CC1?DC=C1D?CF，可得CF=
2
| ||
| 5 |
又∵MN
| ∥ |
. |
| 1 |
| 2 |
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| 5 |
4
| ||
| 5 |
∵Rt△B1AM中，B1A=2
| 2 |
| B1M |
| AB1 |
|
